4.5.1 函数的零点与方程的解

与二次函数的零点一样，对于一般函数 $y=f(x)$，我们把使 $f(x)=0$ 的实数 $x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 的零点（zero）。

这样，函数 $y=f(x)$ 的零点就是方程 $f(x)=0$ 的实数解，也就是函数 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴的公共点的横坐标，所以
方程 $f(x)=0$ 有实数解
$$⟺\text{函数 }y=f(x)\text{ 有零点}$$
$$⟺\text{函数 }y=f(x)\text{ 的图象与 }x\text{ 轴有公共点}$$

由此可知，求方程 $f(x)=0$ 的实数解，就是确定函数 $y=f(x)$ 的零点。

函数零点存在定理 如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 $f(a)\cdot f(b)<0$，那么，函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内至少有一个零点，即存在 $c\in (a,b)$，使得 $f(c)=0$，这个 $c$ 也就是方程 $f(x)=0$ 的解。

4.5.2 用二分法求方程的近似解

对于在区间 $[a,b]$ 上图象连续不断且 $f(a)\cdot f(b)<0$ 的函数 $y=f(x)$，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection method）。

给定精确度 $\epsilon$，用二分法求函数 $y=f(x)$ 零点 $x_0$ 的近似值的一般步骤如下：

1. 确定零点 $x_0$ 的初始区间 $[a,b]$，验证 $f(a)f(b)<0$。
2. 求区间 $(a,b)$ 的中点 $c$。
3. 计算 $f(c)$，并进一步确定零点所在的区间：
   （1）若 $f(c)=0$（此时 $x_0=c$），则 $c$ 就是函数的零点；
   （2）若 $f(a)f(c)<0$（此时 $x_0\in (a,c)$），则令 $b=c$；
   （3）若 $f(c)f(b)<0$（此时 $x_0\in (c,b)$），则令 $a=c$。
4. 判断是否达到精确度 $\epsilon$：若 $|a-b|<\epsilon$，则得到零点近似值 $a$（或 $b$）；否则重复步骤 $2\sim 4$。

4.5.3 函数模型的应用

与 C.3.4 函数的应用（一）原因相近，本节因大多为示例，并没有明确指出的概念、公式、模型等，因而我们邀请读者自己看书并做笔记。