4.1.1 n次方根与分数指数幂

一般地，如果 $x^n=a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的$n$次方根，其中 $n>1$，且 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。

当 $n$ 是奇数时，正数的 $n$ 次方根是一个正数，负数的 $n$ 次方根是一个负数。这时，$a$ 的 $n$ 次方根用符号 $\sqrt[n]{a}$ 表示。

当 $n$ 是偶数时，正数的 $n$ 次方根有两个，这两个数互为相反数，这时，正数 $a$ 的正的 $n$ 次方根用符号 $\sqrt[n]{a}$ 表示，负的 $n$ 次方根用符号 $-\sqrt[n]{a}$ 表示，正的 $n$ 次方根与负的 $n$ 次方根可以合并写成 $\pm \sqrt[n]{a}$（$a>0$）。

负数没有偶次方根。

$0$ 的任何次方根都是 $0$，记作 $\sqrt[n]{0}=0$。

式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫做根式（radical），这里 $n$ 叫做根指数，$a$ 叫做被开方数。

根据 $n$ 次方根的意义，可得 $(\sqrt[n]{a}{)}^n=a$；当 $n$ 为奇数时，$\sqrt[n]{a^n}=a$；当 $n$ 为偶数时，$\sqrt[n]{a^n}=|a|$。

当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。

正数的正分数指数幂的意义是
$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}(a>0,m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n>1)$$
于是，在条件 $a>0$，$m$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$n>1$ 下，根式都可以写成分数指数幂的形式。

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿：
$$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}(a>0,m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n>1)$$

$0$ 的正分数指数幂等于 $0$，$0$ 的负分数指数幂没有意义。

对于任意有理数 $r$，$s$，均有下面的运算性质：
（1）$a^r{a}^s=a^{r+s}$（$a>0$，$r,s\in \mathbb{Q}$）；
（2）$(a^r{)}^s=a^{rs}$（$a>0$，$r,s\in \mathbb{Q}$）；
（3）$(ab{)}^r=a^r{b}^r$（$a>0$，$b>0$，$r\in \mathbb{Q}$）。

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质

一般地，无理数指数幂 $a^{\alpha }$（$a>0$，$\alpha$ 为无理数）是一个确定的实数。这样，我们就将指数幂 $a^x$（$a>0$）中指数 $x$ 的取值范围从整数逐步拓展到了实数。实数指数幂是一个确定的实数。

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂。