4.4.1 对数函数的概念

一般地，函数 $y={\log }_{a}x$（$a>0$，且 $a\ne 1$）叫做对数函数（logarithmic function），其中 $x$ 是自变量，定义域是 $(0,+\infty )$。

4.4.2 对数函数的图象和性质


一般地，指数函数 $y=a^x$（$a>0$，且 $a\ne 1$）与对数函数 $y={\log }_{a}x$（$a>0$，且 $a\ne 1$）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。

4.4.3 不同函数增长的差异

一般地，指数函数 $y=a^x$（$a>1$）与一次函数 $y=kx$（$k>0$）的增长差异都与上述情况类似。即使 $k$ 的值远远大于 $a$ 的值，$y=a^x$（$a>1$）的增长速度最终都会大大超过 $y=kx$（$k>0$）的增长速度。

一般地，虽然对数函数 $y={\log }_{a}x$（$a>1$）与一次函数 $y=kx$（$k>0$）在区间 $(0,+\infty )$ 上都单调递增，但它们的增长速度不同。随着 $x$ 的增大，一次函数 $y=kx$（$k>0$）保持固定的增长速度，而对数函数 $y={\log }_{a}x$（$a>1$）的增长速度越来越慢。即使 $k$ 的值很小，在一定范围内，${\log }_{a}x$ 可能会大于 $kx$，但由于 ${\log }_{a}x$ 的增长最终会慢于 $kx$ 的增长，因此总会存在一个 $x_0$，当 $x>x_0$ 时，恒有 ${\log }_{a}x<kx$。